Calcul d'intégrale à l'aide d'une primitive

Théorème

Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit $a$ et $b$ deux réels tels que   \(a.
Soit $f$  une fonction continue et positive sur $[a;b]$ .
Pour toute primitive $F$ de $f$ sur $[a;b]$ , on a $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x=F(b)-F(a)}}}$ .

Notation

Ce nombre se note $[F(x){]}_a^b$ .

Remarque

Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie pour $f$ sur $[a;b]$ .

Démonstration

Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit $a$ et $b$ deux réels tels que   \(a.
Soit $f$  une fonction continue et positive sur $[a;b]$ .
Soit $F_a$  la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ et $F$  une autre primitive de $f$  sur $[a;b]$ .
Alors, il existe un réel $C$ tel que, pour tout $x$ de   $[a;b]$ , on a $F(x)=F_a(x)+C$ .
Or, $F_a(a)=0$ , donc $F(a)=F_a(a)+C=C$ .
Autrement dit, pour tout   $x$ de $[a;b]$ ,  on a $F(x)=F_a(x)+F(a)$ , soit $F_a(x)=F(x)-F(a)$ .
En particulier, pour $x=b$ , on obtient $F_a(b)={\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x=F(b)-F(a)}$ .