Calcul d'intégrale à l'aide d'une primitive

Théorème

Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que   \(a.
Soit \(f\)  une fonction continue et positive sur \([a~;~b]\) .
Pour toute primitive \(F\) de \(f\) sur \([a~;~b]\) , on a \(\boxed{\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x =F(b)-F(a)}\) .

Notation

Ce nombre se note \(\Big[F(x)\Big]_a^b\) .

Remarque

Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie pour \(f\) sur \([a~;~b]\) .

Démonstration

Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que   \(a.
Soit \(f\)  une fonction continue et positive sur \([a~;~b]\) .
Soit \(F_a\)  la primitive de \(f\) qui s'annule en \(a\) et \(F\)  une autre primitive de \(f\)  sur \([a~;~b]\) .
Alors, il existe un réel \(C\) tel que, pour tout \(x\) de   \([a~;~b]\) , on a \(F(x) = F_a(x)+C\) .
Or, \(F_a(a) = 0\) , donc \(F(a) = F_a(a)+C=C\) .
Autrement dit, pour tout   \(x\) de \([a~;~b]\) ,  on a \(F(x)=F_a(x)+F(a)\) , soit \(F_a(x)=F(x)-F(a)\) .
En particulier, pour \(x=b\) , on obtient \(F_a(b)=\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x =F(b)-F(a)\) .